Essais & Simulations n°117

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Mecaclim liste. Ces développements actualisent une approche alternative initialement basée sur une méthode d’interpolation moins précise, ayant permis de dégager l’ordre de grandeur des coefficients de variation relatifs aux valeurs des maxima et minima mensuels [PIE-10]. Ici, nous avons abandonné la considération des températures minimales car les phénomènes qu’elles peuvent engendrer (gel, condensation) dépendent conjointement d’autres facteurs (hygrométrie). De telles situations qui font intervenir au moins deux facteurs d’environnement, n’entrent pas dans le cadre d’une méthode « résistance – contrainte », intrinsèquement limitée à l’interaction entre une résistance et une seule contrainte. 3. Consistance de la démarche 3.1. Contexte général Compte tenu de la variabilité intrinsèque des températures et des échelles temporelles considérées (horaire, journalière, mensuelle, annuelle) la présentation des données correspondantes (abaques, valeurs tabulées), liée à la diversité et à l’évolution des sources disponibles [GRZ-11] rend leur interprétation (donc leur exploitation), pour le moins assez difficiles. Dans l’optique d’une personnalisation de la méthode « résistance - contrainte », La source la plus pertinente à laquelle nous avons pu accéder à ce jour [GUI-10] résulte d’une procédure de validation [MAR-99], réalisée dans le cadre de la révision d’une version antérieure de la base de données [STA-09]. L’annexe 6 de [GUI-10] fournit des tableaux de valeurs mensuelles correspondant à diverses zones climatiques notées (Z-1 à Z-11), censées couvrir la climatologie mondiale (les 3 zones Z-12 à Z-14 ne sont pas renseignées). En vue de sa validation, une application numérique de la méthodologie proposée fera référence à la zone Z-7, relative à un climat tempéré frais. De plus, les valeurs maximales mensuelles dépassées avec une probabilité conventionnelle de 1% ainsi que leurs coefficients de variation seront calculés pour le mois le plus chaud de chacune des 11 zones climatiques. 3.2. Nature & définition des grandeurs [GUI-10] Pour chacun des 12 mois de l’année, les diverses températures maximales sont définies comme suit : • TMJ : moyenne mensuelle des valeurs maximales (M) journalières (J), • SIGM : écart-type moyen des valeurs maximales (M) journalières, • TMM : moyenne des températures maximales (M) mensuelles (M), • TME : valeur extrême (E) mensuelle (M) ; Par suite de leurs définitions statistiques, ces valeurs sont ordonnées de la façon suivante : TME > TMM > TMJ On notera en particulier, que TME est une valeur unique, dite « record », qui n’est pas reliée statistiquement aux longues séries d’observations météorologiques ayant permis de définir les autres grandeurs. L’utiliser dans le cadre de la méthode « résistance – contrainte » ne serait donc pas très réaliste car ceci conduirait à des marges de sécurité excessives et non probabilisables en terme de risque de dépassement. 3.3. Analyse critique & orientations L’interprétation statistique de ces différentes grandeurs et leurs relations mutuelles a conduit [MAR-99] à reconstituer et à valider les distributions des températures maximales à partir des trois températures indiquées systématiquement dans les bases de données météorologiques : TMJ, TMM, TME. Ces distributions sont calculées numériquement et représentées sous forme d’abaques, compte tenu en particulier : des estimations statistiques basées sur des échantillons de grande taille (30 années de 365 jours), de l’hypothèse de normalité des températures extrêmes journalières, non biaisées et peu dispersées, en tant que quantiles déterminés à partir des températures horaires, de l’indépendance des valeurs de températures extrêmes maximales à une échelle temporelle de 2 jours; Ce travail important a permis de déterminer les écart-types SIGM relatifs aux TMJ, ce qui permet d’estimer les coefficients de variation correspondant à ces valeurs journalières. Toutefois, le coefficient de variation des autres grandeurs, en particulier celui de TMM, n’est pas indiqué. Or cette température spécifique ne correspond pas nécessairement à l’une de celles qui sont définies ci-dessus et il est important, si l’on vise une cohérence avec la probabilité de dépassement assignée au facteur d’essai, de pouvoir déterminer une température associée à une probabilité de dépassement quelconque (par exemple : 1%, 5%, 10%). Pour ce faire, nous allons utiliser comme grandeurs de base, uniquement les valeurs moyennes mensuelles des maxima journaliers (TMJ) et leurs écart-types (SIGM). Nous pourrons ainsi retrouver les valeurs moyennes des températures maximales mensuelles (TMM), les situer par rapport aux valeurs « record » (TME) et valider la méthode de reconstitution proposée. 3.4. Choix de l’échelle des températures Les températures sont exprimées habituellement en utilisant l’échelle centésimale (degré Celsius), mais on a montré que la définition du coefficient de garantie implique de considérer uniquement des températures strictement positives [PIE-13]. Des températures négatives apparaissent presque systématiquement dans le cas des températures extrêmes minimales (non considérées ici) et aussi pour quelques mois, dans le cas de Essais & Simulations • JUIN 2014 • PAGE 18

Mecaclim températures extrêmes maximales, en particulier pour les zones climatiques de plus en plus froides. Cette difficulté peut être évitée en utilisant une échelle de température thermodynamique, ce qui nécessite de transformer préalablement les degrés Celsius en degrés Kelvin:{T(K) = ϑ(°C)+T 0 }, la constante (T 0 = 273.15K) étant la température absolue conventionnelle du point triple de l’eau. Dans l’exemple exposé plus loin, toutes les températures relatives au mois le plus chaud (Juillet) de la zone climatique (Z-7) étant positives, les résultats seront exprimés, à titre comparatif, dans les deux échelles de température. Ceci permettra de constater l’absence d’unicité des coefficients de variation et, afin de préserver la définition du coefficient de garantie, de justifier la nécessité d’exprimer toutes les températures (contrainte d’environnement et résistance du composant) dans une même échelle (systématiquement Kelvin ou Celsius quand c’est possible). 4. Températures mensuelles maximales 4.1. Valeur moyenne & coefficient de variation Partant de la moyenne mensuelle des maxima journaliers (TMJ) et de leur écart-type (SIGM) nous montrons d’abord comment retrouver analytiquement la valeur moyenne des maxima mensuels (TMM), puis nous déterminons le coefficient de variation correspondant. Ensuite, nous déterminons la valeur correspondant à une probabilité de dépassement conventionnelle de 1%, ainsi que son coefficient de variation. Si la distribution des maxima journaliers (TMJ) est une loi normale N j (m j ,s j ), son extension mensuelle est une loi des extrêmes G m (u m ,σ m ) [GUM-58], dont les paramètres de localisation et de dispersion (u m ,σ m ) sont définis en fonction des paramètres (m j ,s j ) et du nombre (n = 15) jours considérés dans le mois. Les observations météorologiques réalisées pendant 30 ans considèrent seulement 15 maxima diurnes indépendants par mois (et non 30), parce que la rémanence des périodes chaudes est de l’ordre de 2 jours. Dans ces conditions, on obtient : (1) (2) La relation (1) montre que la dispersion de la loi extrémale mensuelle est plus faible que celle de la loi normale journalière. La relation (2) permet de tenir compte des paramètres de la loi normale, sachant que le paramètre réduit U m (n) correspond à une loi normale standardisée. Les paramètres statistiques (moyenne et variance) de la loi mensuelle sont les suivants : (3) (4) Sachant que (E ≈ 0.577) est la constante d’Euler et en introduisant les valeurs numériques : √2-Ln(15) ≈ 2.33 & Um(15) ≈ 1.57, on obtient finalement en fonction du coefficient de variation de la moyenne journalière : CV(TMJ) = (SIGM/TMJ) : (5) (6) 4.2. Valeur dépassée à 1% & coefficient de variation Quant à la valeur des températures maximales mensuelles dépassées avec une probabilité conventionnelle (p=1%), elle peut être tirée de la relation qui lie la variable réduite Z(p%) de la loi G m (u m ,σ m ), à la probabilité de dépassement (p%): (7) Sachant que (p=1%) correspond à Z(1%) ≈ 4.600, on obtient sa valeur moyenne et son coefficient de variation : (8) (9) 5. Application numérique ponctuelle Elle a pour but d’illustrer et de valider la méthode proposée. 5.1. Données d’entrée On considère le mois le plus chaud (juillet) de la zone climatique (Z-7) pour lequel on connaît : • TMJ = 29.4 °C (302.55 K) • SIGM = 3.3 °C (3.3 K) On en tire : • CV(TMJ) ≈ 11.224% dans l'échelle Celsius • CV(TMJ) ≈ 1.091% dans l’échelle Kelvin Le tableau suivant regroupe, à titre comparatif, les valeurs d’entrée et les valeurs calculées dans les deux échelles de température : NOTA : ligne supérieure (°C) & ligne inférieure (K) Essais & Simulations • JUIN 2014 • PAGE 19