Essais & Simulations n°115

Mesures et Methodes de

Mesures et Methodes de Mesure Dans cette équation on fait apparaître un projecteur P de déplacement dans le plan du capteur. En effet, si on s'intéresse à la plasticité, des effets tridimensionnels important peuvent se produire. Il est alors souhaitable de les prendre en compte par l'intermédiaire d'une analyse mécanique 3D. Ainsi la partie mécanique est 3D alors que la partie corrélation d'image ne concerne que la projection dans le plan du capteur du déplacement sur la surface du maillage utilisé. Fe est le vecteur forces externes au sens des Elément Finis, Fi le vecteur forces internes et U désigne le vecteur contenant les valeurs des degrés de liberté Eléments Finis du champ de déplacement. p est un coefficient de pénalité permettant de pondérer le poids respectif de la mécanique et de la corrélation dans la résolution dont les contributions sont adimensionnées par les constantes mo et ko. Dans cette équation, les paramètres de la loi de comportement interviennent dans le vecteur forces internes et influent donc sur la détermination du déplacement. Ainsi on cherchera à donner un poids fort (p de l'ordre de 0.00001) à la mécanique de manière à donner plus de sensibilité aux paramètres de la loi de comportement. Cette quantité fait l'objet d'une minimisation à la fois par rapport au champ de déplacement mais aussi par rapport aux paramètres de la loi de comportement. Exemple On illustrera les potentialités de la méthode d'identification proposée sur un exemple : l'identification d'une loi de comportement élasto-plastique pour un alliage de titane Ta6V. Les essais quasi-statiques (5 mm/min) sont menés sur éprouvette entaillée. La largeur des éprouvettes est de 6.5 mm, l'angle de l'entaille de 60°, son rayon 0.4 mm et l'épaisseur 1.2 mm. Un polissage soigneux est effectué afin de minimiser l'influence de l'état de surface. On se donnera les propriétés élastique du matériau : module de Young 115 GPa et coefficient de Poison 0.3. On cherchera à identifier les paramètres de la loi de type Swift gouvernant l'évolution de la surface de charge en fonction de la déformation plastique Ep : ̄S y (E p )=HE p +B(C+E p ) d Cette loi fait initialement intervenir 4 paramètres : H, B, C et d. Cependant on impose la continuité des modules tangents entre le régime élastique et le régime plastique. Ainsi on se ramène à la détermination de 3 paramètres : la limite élastique initial Sy, le module d'écrouissage linéaire H et l'exposant de la loi puissance d. Notons que la limite élastique initiale est donnée par les paramètres B, C et d. Figure 2 : Déformation plastique et contraintes de Von-Mises. La Figure 1 permet de comparer les champs de déplacement pour la dernière image considérée obtenus par corrélation uniquement et par la technique proposée (MIC) après convergence à la fois sur le déplacement et les paramètres de la loi de comportement. Un très bon accord est obtenu entre ces champs de déplacement. Grâce à la méthode proposée, on obtient un champ de déplacement dont le champ de contrainte associé vérifie les équations d'équilibre (au sens de la pénalité introduite plus haut). La Figure 2 montre le champ de déformation plastique cumulée et le champ de contrainte équivalente de Von-Mises. On observe une forte localisation de la déformation au niveau de l'entaille. Les contraintes sont également maximales en fond d'entaille. Figure 3 : Convergence des paramètres identifiés. La Figure 3 permet d'apprécier la convergence de la méthode en terme de paramètres de loi de comportement. Une vingtaine d'itérations suffit à obtenir un jeu de paramètre convergé. Dans le cas présent on obtient : 915 MPa pour Sy, 886 MPa pour H et 0.021 pour d. La méthode proposée permet en plus de s'assurer de la pertinence de la loi de comportement identifiée. En effet, a posteriori, on peut recalculer l'erreur de corrélation moyenne comme la valeur absolue de l'écart entre l'image de référence et l'image déformée corrigée par le champ de déplacement. La Figure 4 présente l'évolution de cette erreur pour trois calculs différents. Le premier est un calcul de corrélation standard, il représente le minimum que puisse atteindre l'erreur de corrélation. On obtient une valeur moyenne autour de 2% de la dynamique de l'image. On trace aussi cette évolution pour un calcul avec identification des paramètre d'écrouissage pour une loi de type Swift comme présentée plus haut et l'erreur pour un écrouissage linéaire simple (en omettant le terme en loi puissance). On constate que les niveaux d'erreurs pour ces deux calculs sont supérieurs à ceux obtenus par corrélation uniquement. Ceci est naturel dans la mesure où le champ issu de la corrélation ne satisfait pas les équations d'équilibre alors que les deux autres champs les vérifient mieux mais que par conséquent ils satisfont moins bien l'équation du flot optique. Le Figure 4 montre également que la loi de type Swift permet d'atteindre des niveaux d'erreur Essais & Simulations • OCTOBRE 2013 • PAGE 16

Mesures et Methodes de Mesure Bibliographie Figure 4 : Comparaison de l'évolution de l'erreur de corrélation moyenne pour une loi d'écrouissage linéaire ou de type Swift de corrélation plus faibles que la loi linéaire. C'est donc qu'elle est mieux adaptée pour décrire le comportement du matériau. Conclusion Dans cette contribution, on propose une technique de corrélation d'image régularisée par la mécanique qui permet à la fois la mesure d'un champ de déplacement mais également l'identification des paramètres de la loi de comportement du matériau. Pour cela, l'équation du flot optique habituellement résolue pour la corrélation d'images est pénalisée par une partie mécanique qui assure l'équilibre de la structure considérée au sens des Eléments Finis. Les deux problèmes sont ainsi résolus simultanément par minimisation de la fonctionnelle régularisée obtenue. Cette minimisation est effectuée par rapport au vecteur déplacement mais aussi par rapport aux paramètres de la loi constitutive considérée pour modéliser le comportement du matériau. On montre qu'il est également possible d'utiliser un modèle 3D pour la partie mécanique, la corrélation d'images ne concernant que la projection du déplacement en surface dans le plan du capteur de la caméra. Les potentialités de la méthode proposée sont illustrées par un exemple. Il s'agit d'identifier les paramètres de la loi d'écrouissage d'un alliage de titane. On montre comment la méthode converge en terme de paramètres de loi de comportement et quels sont les résultats obtenus. On montre également que cette méthode permet une aide au choix du type de loi de comportement dans la mesure où la meilleure loi sera celle qui permettra d'obtenir les niveaux d'erreur de corrélation les plus bas. 1. S., AVRIL, M. BONNET, AS. BRETELLE, M.GREDIAC, F. HILD, P. IENNY, F. LATROUTE, D. LEMOSSE, S. PAGA- NO, E. PAGNACCO & AUTRES « Overview of identification methods of mechanical parameters based on full-field measurements », Experimental Mechanics, vol. 48, n° 4, pp. 381, 2008 2. Y. SUN, JHL. PANG, CK. WONG & F. SU., « Finite-element formulation for digital image correlation method », Applied Optics, vol. 44, n° 34, pp. 7357, 2005 3. G. BESNARD, F. HILD & S. ROUX., « Finite-element displacement fields analysis from digital images : Application to Portevin-Le Châtelier bands », Experimental Mechanics, vol. 46, n° 6, pp. 789, 2006 4. J. RETHORE, F. HILD & S. ROUX., « An extended and integrated digital image correlation technique applied to the analysis of fractured samples », European Journal of Computational Mechanics, vol. 18, pp. 285, 2009 5. J. RETHORE, « A fully integrated noise robust strategy for the identification of constitutive laws from digital images », International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 84, pp 631, 2010 Julien Réthoré(1), Gérald Portemont(2) (1) LaMCoS, Université de Lyon / INSA Lyon / CNRS 20 Avenue Albert Einstein 69 621 Villeurbanne (2) ONERA/DADS/CRD Département d'Aéroélasticité et Dynamique des Structures 5, bd Painlevé, FR-59045, Lille Cedex, France Essais & Simulations • OCTOBRE 2013 • PAGE 17