Essais & Simulations n°108

Mesures et méthodes de

Mesures et méthodes de mesures 2.1. Approche locale Lorsque l’on suppose que u est une translation de corps rigide, la minimisation de (3) peut être résolue par des techniques d’intercorrélation qui consistent à maximiser les superpositions de f translaté et g. En effet, la minimisation précédente est équivalente (dans la limite de grands domaines Ω) à maximiser la quantité h où * est l’opérateur d’intercorrélation. Le déplacement qui maximise le produit d’intercorrélation correspond à une évaluation du déplacement moyen inconnu. Le calcul d’un produit d’intercorrélation peut être conduit dans l’espace de référence ou dans l’espace de Fourier. Un champ de déplacement est alors constitué de l’ensemble des déplacements moyens des zones d’étude considérées. A titre d’illustration, ce type de procédure a été utilisé pour piloter un essai mécanique par corrélation d’images. Un essai de traction sur un acier ordinaire est contrôlé en niveau de déformation, non pas à l’aide d’un extensomètre ou d’une jauge, mais par l’utilisation d’images. Une tôle de dimension 157×50×2 mm 3 est mouchetée pour présenter une texture aléatoire. Dans le cas présent, 3×3 zones d’étude de taille 64 pixels sont choisies. Ceci correspond à un compromis entre niveau d’incertitude et résolution spatiale qu’il s’agit de déterminer. Les incertitudes en déformation sont évaluées de la manière suivante. On considère une image de référence de la région d’étude de l’éprouvette dont on souhaite contrôler les déformations longitudinales. Cette image est décalée artificiellement par transformée de Fourier à l’aide de la propriété de décalage/modulation par incréments de 0.1 pixel dans chaque direction. Pour chaque valeur de déplacement, l’écart quadratique moyen est évalué et correspond à l’incertitude. Celle-ci est évaluée pour chaque valeur imposée entre 0 et 1 pixel. La moyenne spatiale de cet écart-type est ensuite calculée et est appelée incertitude en déplacement σ u . Cette dernière est estimée pour différentes tailles λ de zones d’étude. Pour chaque décalage imposé, le champ de déformation est obtenu par différences finies centrées. Les incertitudes sont alors calculées de la même manière que pour les déplacements. La valeur moyenne, σ ε , est appelée incertitude en déformation. Afin d’avoir des mesures de déplacement indépendantes, le décalage δ entre zones d’études consécutives est pris égal à leur taille λ. La première étape est appliquée à l’image considérée. La figure 1 montre l’évolution de l’incertitude en déplacement σ u en fonction de λ. Pour des tailles supérieures à 16 pixels, une loi de puissance décrit très raisonnablement cette évolution avec A=1.4 pixel (et α=1.5). On montre ainsi que plus la résolution spatiale (λ) est importante, plus l’incertitude (σ u ) est faible. On aboutit ainsi au compromis annoncé entre incertitude et résolution spatiale. Ainsi, augmenter la résolution spatiale revient également à augmenter le temps de calcul pour estimer un déplacement. Le choix s’est porté sur une taille égale à 64 pixels qui conduit à une incertitude en déplacement σ u de 5x10 -3 pixel. Figure 1 : Incertitudes en déplacement et en déformation en fonction de la taille des zones d’étude λ. Les symboles pleins sont des résultats de corrélation. Les droites en trait continu correspondent à une interpolation en loi de puissance (–1.5) et en traits pointillés à une loi avec un exposant –2.5. L’incertitude en termes de déformation est ensuite évaluée. Dans le cas présent un algorithme de différences finies centrées est utilisé de telle manière que la résolution spatiale en déformation est égale à 2δ. Lorsque δ≥ λ, l’incertitude en déformation est liée à celle en déplacement par avec B=√2. En identifiant à partir des données de la figure 1, on obtient B ≈1.5 en accord avec la valeur attendue. Ce résultat montre que l’incertitude en déformation dépend des deux paramètres de corrélation, explicitement de δ et implicitement de λ par l’intermédiaire de σ u [cf. équation (5)]. L’équation (6) est retrouvée dans le cas présent, en particulier un exposant de – 2.5 pour la dépendance en taille λ de par le fait que δ= λ. Pour le pilotage, on choisira un décalage entre zone d’étude grand δ=400 pixels de telle manière que l’incertitude en déformation soit de l’ordre de 10 -5 . Cette valeur estimée a priori a été validée a posteriori. A partir des déplacements des 9 centres de zones d’étude, on détermine la déformation moyenne longitudinale, paramètre de contrôle. La figure 2a montre la courbe contrainte/déformations obtenue à partir des mesures avec une rosette et par corrélation d’images, une fois la correction de déplacement hors-plan effectuée. Très tôt dans l’essai, le signal de jauge n’est plus cohérent (si l’essai avait été piloté à l’aide de ce capteur, il aurait conduit à une rupture prématurée de l’échantillon). Ceci est dû à un décollement de jauge induit par un phénomène de plasticité localisée, cf. figure 2b. Figure 2 : a-Contrainte en fonction des déformations longitudinale et transverse obtenues par jauge et corrélation d’images (environ 2x1000 points de contrôle). b-Composante tangentielle du champ de déplacement (exprimé en pixels, avec 1 pixel 86 µm) montrant une localisation de la déformation. Une approche globale enrichie a été utilisée pour mieux révéler ce champ. E S S A I S & S I M U L AT I O N S ● O C TO B R E , N OVEMBRE, D É C E M B R E 2 0 1 1 ● PAG E 3 9

Mesures et méthodes de mesures De par le temps de calcul encore assez long et le temps nécessaire au stockage des images, la fréquence de travail est de l’ordre du Hertz. Il a ainsi été nécessaire d’implémenter un asservissement à deux boucles en cascade (une boucle interne (rapide) contrôlant le déplacement et une boucle externe à pilotage en déformation. Ainsi, seuls des essais quasi statiques ont été réalisés jusqu’à présent. On peut néanmoins prévoir que dans un avenir très proche une accélération des cadences de par l’utilisation de cartes DSP voire de GPU qui permettent des calculs sur toute l’image en quelques dizaines de millisecondes. On notera que l’hypothèse cinématique faite jusqu’à présent (i.e., déplacement constant par zone d’étude) peut être relaxée. Les codes de corrélation académiques et commerciaux utilisent actuellement des interpolations locales du déplacement de degré 1 voire plus élevé. Cependant, seule la valeur moyenne du déplacement est conservée et affectée au centre de la zone d’étude. Cela permet de capter des cinématiques plus complexes, et conduit à des incertitudes de mesure dont l’amplitude dépend, entre autres, de la texture observée et de son interpolation, mais également du degré d’interpolation cinématique locale, et de la taille de la zone d’étude. 2.2. Approche globale Dans cette partie, deux approches sont présentées. La première consiste à minimiser les résidus de corrélation de manière globale sur des champs de déplacement qui sont spatialement couplés. La seconde, dite approche « intégrée », consiste à régulariser la mesure par la recherche d’un champ de déplacement qui satisfasse (au mieux) non seulement à la conservation des niveaux de gris mais également aux équations de la mécanique. 2.2.1. Résidus de corrélation L’espace des vecteurs déplacements tests E K est introduit et vérifie l’hypothèse de régularité (par exemple en utilisant des filtres passe-bas ou des descriptions par éléments finis). Supposons que f et g soient suffisamment régulières aux petites échelles, et que le Figure 3 : a-Maillage de corrélation. Champs de déplacement (exprimé en pixel) dans les directions horizontale (b) et verticale (c) mesuré par CIN-T3. d-Résidus de corrélation (en niveaux de gris). Les images analysées sont codées sur 256 niveaux de gris. déplacement u soit petit en amplitude pour que l’on puisse faire un développement de Taylor au premier ordre de f. La fonctionnelle à minimiser devient A l’instar de la méthode de Rayleigh-Ritz, le champ de déplacement test peut être écrit comme une combinaison linéaire dans une base de l’espaceminimiser devient , telle que R cor [u] soit une forme qua - dratique en amplitudes u i inconnues. La condition d’extrémalité nécessite que pour tout i l’on ait Ce système (linéaire) peut être écrit sous forme matricielle M ik u k =a i . (9) La condition de régularité, qui peut paraître contraignante, permet néan - moins de traiter des cas de textures qui ne sont pas différentiables ; la régularité de u permet de s’affranchir d’une certaine manière de celle a priori néces - saire de f par intégration par parties et filtrage. De plus, le champ de dépla - cement δu est généralement déterminé de manière itérative. Ainsi, seul l’incré - ment de déplacement doit être d’am - plitude petite de telle manière qu’il minimise où u désigne l’évaluation du dépla - cement à l’itération précédente. En utilisant des approches multi-échelles, les composantes du déplacement de faible longueur d’onde sont introduites progressivement ce qui permet d’amé - liorer encore ce point. A ce niveau de généralité, différents espaces peuvent être choisis. C’est tout l’intérêt de la formulation présentée ici. Par exemple, on peut considérer l’es - pace de Fourier afin, par exemple, de pouvoir capter des fluctuations de champs cinématiques. Une alternative couramment utilisée en mécanique est de discrétiser le champ de déplacement comme, par exemple, dans la méthode des éléments finis. Le choix le plus simple consiste à utiliser des interpo - lations bilinéaires données par des éléments quadrangulaires à 4 nœuds (on parlera de CIN-Q4). Comme cela sera montré plus bas, on peut éga - lement enrichir la cinématique (à l’instar de la méthode des éléments finis éten - dus avec des éléments Q4 pour pouvoir mesurer des déplacements discontinus (cela correspond à de la CIN-XQ4 ou CINÉ). La figure 3 illustre le résultat d’un calcul de corrélation avec des triangles T3 pour mailler une éprouvette cruciforme en composite (fibre de verre/matrice vinylester) sollicitée de manière biaxiale. A convergence, le résidu moyen est de 3.19% de la dynamique des images et le champ correspondant est uniforme (figure 3c). 2.2.2. Approche intégrée Lorsque l’on impose a priori une admis - sibilité mécanique aux champs mesurés on parle d’approche intégrée ou CINI. Dans le cadre précédent, on peut direc - tement imposer des solutions analy - tiques lorsque l’on traite un essai brésilien ou même un matériau fissuré. Dans ce qui suit, on propose de régu - lariser le calcul de corrélation par un calcul aux éléments finis. Afin d’imposer une admissibilité mécanique au sens des éléments finis, on introduit un résidu E S S A I S & S I M U L AT I O N S ● O C TO B R E , N OVEMBRE, D É C E M B R E 2 0 1 1 ● PAG E 4 0