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Essais & Simulations n°104-105

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Dossier : Essais virtuels

Applications

Applications Industrielles On pourrait envisager d’inclure les caractéristiques structurelles de l’accéléromètre dans la modélisation. Mais ces caractéristiques ne sont pas bien définies (en particulier celles du fil conducteur) et la fixation crée des variables supplémentaires. Par exemple, un article de Machine Design (du 15/11/2002) dénombre 75 facteurs influant sur le couple appliqué à un seul boulon. Cette réflexion sur les limites de la modélisation ne produit pas de valeur limite de fréquence jusqu’à laquelle les mesures des accéléromètres seraient signifiantes, mais elle confirme qu’une telle limite doit exister. Moyennage spatial Pour conserver le contenu fréquentiel des données échantillonnées, il faut au moins deux échantillons par cycle de sinusoïde. Cette exigence provient du célèbre théorème de Nyquist-Shannon, et un échantillonnage le respectant est un échantillonnage de Nyquist. Cependant, si le but du mesurage est d’obtenir une valeur crête expérimentale d’un signal sinusoïdal, la fréquence d’échantillonnage doit être au moins 10 fois supérieure à la fréquence du signal. L’erreur sur la valeur crête est alors inférieure à 5 %. On déduit de cette exigence que la longueur d’onde de toute onde élastique se propageant dans la structure est particulièrement importante pour établir la densité spatiale minimale de montage de l’accéléromètre, cette densité minimale étant elle-même requise pour définir la limite supérieure du contenu fréquentiel, pour un pyrochoc ou un autre évènement générant des hautes fréquences. Cette longueur d’onde doit donc permettre de définir une limite supérieure de fréquence pour les mesures signifiantes. La vitesse de propagation des ondes élastiques dans un solide est définie par les constantes de Lamé λ et µ. Supposons un milieu solide isotrope non borné. La surface d’une discontinuité avance dans le solide à la vitesse de : (1) pour les ondes de compression et de : (2) pour les ondes de cisaillement. DR Toutes les ondes planes se propagent aux vitesses (1) ou (2). Il existe un troisième type d’ondes (de Raleigh), qui se propagent à la surface des corps solides et élastiques. Leur vitesse étant toujours comprise entre les deux précédentes, les ondes de compression et de cisaillement sont évaluées en tant que cas limites. Les constantes de Lamé sont liées aux propriétés du matériau E (module de Young) et υ (coefficient de Poisson). Prenons l’acier (E = 210 000 MPa, υ = 0,33) pour effectuer quelques calculs représentatifs. Dans ce matériau, la vitesse nominale théorique de l’onde de compression (onde P) est de 6 000 m/s. Celle de l’onde de cisaillement (onde S) est de 3 000 m/s. Comme mentionné plus haut, l’onde de Raleigh possède une vitesse intermédiaire. Grâce à la relation : (longueur d’onde) x (fréquence) = vitesse (3) on calcule les longueurs d’onde des ondes P et S dans l’acier à 20 kHz. Leur valeur nominale théorique est de 30 cm pour l’onde P et de 15 cm pour l’onde S. Sur une structure, les accéléromètres sont montés à une distance minimale typique de 2,5 cm. Compte tenu de l’exigence ci-dessus (présentée avant la formule (1), en italique) de 10 échantillons par cycle pour définir à 5% près la valeur crête d’une onde sinusoïdale Explosion dans un bunker. (l’erreur maximale étant donc de 18°), 10 accéléromètres distants de 2,5 cm conviennent pour une longueur d’onde de 25 cm. Par conséquent, l’ordre de grandeur des longueurs d’onde ci-dessus (15 et 30 cm) indique également que 20 kHz est une limite supérieure approximative pour le mesurage quantitatif dynamique au moyen d’accéléromètres. Altération de la réponse structurelle L’impédance mécanique peut être considérée comme la résistance d’une structure au mouvement. Soient F la force harmonique crête appliquée à une structure et V la vitesse réponse en un point. Pour une fréquence donnée, l’impédance mécanique est : Z mech = (F/V)e jθ (4) Un accéléromètre peut être approximé par une masse pure à environ 80 % de la fréquence de résonance fondamentale de son support sismique. En effet, s’il est bien conçu, même si la fréquence approche la valeur de résonance du support sismique de l’accéléromètre, la réponse sera dominée par celle du boîtier, plus grand et plus rigide. L’impédance mécanique Z d’un accéléromètre peut donc être calculée ainsi : (5) où ω est la vitesse angulaire, A est le E SSAIS & S IMULATIONS ● OCTOBRE, NOVEMBRE, DÉCEMBRE 2010 ● PAGE 32

Applications Industrielles déplacement à ω, j 2 = –1 et m accel est la masse de l’accéléromètre. On remarque que l’impédance de l’accéléromètre augmente avec la fréquence. Il est à présent facile de calculer l’impédance mécanique des accéléromètres PCB de la série 3500. Chacun de ces accéléromètres possède une masse d’environ 2 g, y compris les vis de montage et le fil conducteur. Le module de Z accel vaut 0,128 g·s/mm à 100 Hz et 25,66 g·s/mm à 20 kHz. Évaluons maintenant l’effet de Z accel sur la réponse de la structure à laquelle l’accéléromètre est fixé. Soit une structure linéaire élastique soumise à une force harmonique constante. La présence d’un accéléromètre modifie le mouvement structurel de la manière suivante : V final = V initial [Z structure / (Z structure + Z accel )] (6) Pour les structures les plus complexes, Z structure est indéfini. Cependant, cette équation identifie l’effet de l’accéléromètre sur la réponse de la structure. Nous avons étudié le cas où l’accéléromètre est placé à l’extrémité d’une longue tige fine, elle-même soumise à une excitation harmonique à son autre extrémité. C’est l’un des rares cas où Z structure peut être calculé. Sa formule est : (7) Dans cette équation, j, E et ω ont la même définition que plus haut, A est l’aire de la section de la tige, L sa longueur et ρ sa masse volumique. Pour effectuer un calcul représentatif, prenons une tige d’aluminium de longueur 25 cm et de diamètre 2,5 cm. La vitesse de propagation d’une onde longitudinale dans cette tige est de 5 000 m/s. Cette vitesse divisée par la longueur donne l’une des fréquences de résonance de la tige, soit 20 kHz. Avec cette longueur et cette fréquence, l’impédance mécanique a un module de 600 g·s/mm. Avec ces valeurs et l’équation (6), on peut calculer le rapport V final / V initial : l’accéléromètre altère la réponse de la structure d’environ 5 %. Un accéléromètre de masse plus élevée (triaxial par exemple) produirait un effet plus important. L’effet DR d’un modèle donné d’accéléromètre sur la réponse d’une structure dépend de la masse de l’accéléromètre, de la fréquence à laquelle il travaille, ainsi que de la géométrie et du matériau de la structure sur laquelle il est fixé. La valeur de 20 kHz de cet exemple confirme une fois de plus qu’elle constitue une limite supérieure approximative. Conclusions Toute mesure d’accélération a pour but de définir la réponse de la structure à laquelle l’accéléromètre est fixé, sans que ce dernier ne perturbe le mouvement de la structure. Aux fréquences élevées, il existe une différence entre la réponse réelle de la structure et celle mesurée par un accéléromètre. Cette différence peut être attribuée aux résonances non identifiées aux hautes fréquences ou aux anomalies de montage de l’accéléromètre, au moyennage spatial des fréquences lié aux dimensions physiques de l’accéléromètre, et à la masse ajoutée à la structure par la simple présence de l’accéléromètre. De plus, il devient difficile de vérifier expérimentalement la modélisation de la réponse structurelle de l’UUT lorsque la dimension des éléments finis décroît. Nous avons présenté plusieurs raisons de considérer la valeur de 20 kHz comme une limite supérieure approximative pour le mesurage quantitatif des accélérations au moyen d’accéléromètres fixés en surface. Cette limite permet, de manière générale, de fixer des objectifs d’essais plus réalistes, et en particulier de faire évoluer les spécifications de mesure des pyrochocs ● Patrick L. Walter (1) Bibliographie - Walter, Patrick L., “Lessons Learned in Applying Accelerometers to Nuclear Effects Testing,” The Shock and Vibration Digest, Sage Science Press, November/December 2008. - Sill, Robert D., “Test Results and Alternate Packaging of a Damped Piezoresistive MEMS Accelerometer,” 52 nd Annual NDIA Fuze Conference, Sparks, NV, May 13-15, 2008. - Bateman, Vesta I., “Use Pyroshock Definitions as Guidelines – Analyze Your Data First!” Test, pp. 10-12, June/July 2008. - http://ts.nist.gov/MeasurementServices/ Calibrations/vibration.cfm, May 2008. - Dimoff, T., “Electrodynamic Vibration Standard with a Ceramic Moving Element,” Journal of Acoustic Society of America, Vol. 40 (3), pp. 671-676, September 1966. - Liu, Bin, Transducers for Sound and Vibration – The Finite Element Method Based Design, Ph.D. dissertation, Department of Manufacturing and Engineering and Management, Technical University of Denmark. June 2001. - Bedford, A., Drumheller, D. S., Introduction to Elastic Wave Propagation, John Wiley and Sons, New York, 1994. - Walter, Patrick L., Limitations and Corrections in Measuring Dynamic Characteristics of Structural Systems, Ph.D. thesis, Arizona State University, pp. 121-124, 1978. Abstract Almost all piezoelectric accelerometers in the current market-place have a fundamental sensor resonance below 100 kHz. In 1983, an US manufacturer designed a series of MEMS (micro-electronico-mechanical systems) accelerometers. These silicon-based piezoresistive accelerometers enabled sensor resonances 100s of kHz to above 1MHZ. The original intent of this design was to create an accelerometer with a resonant frequency high enough that it would not be excited in metal-to-metal impact or explosives environments. These types of environments are generally described by the term pyrotechnic shock (pyroshock). Unfortunatly, despite the advantage provided by the highresonant frequencies of these accelerometers, the extremely low intrinsic damping of silicon acts as a counterbalance. The result of this low damping is often over-ranging and breakage of the accelerometers when they are subjected to pyroshock. (1) PCB Piezotronics, Inc. et Texas Christian University, Fort Worth, Texas (États-Unis), p.walter@tcu.edu. E SSAIS & S IMULATIONS ● OCTOBRE, NOVEMBRE, DÉCEMBRE 2010 ● PAGE 33

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