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Essais & Simulations n°104-105

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Dossier : Essais virtuels

Essais

Essais virtuels Analyse tensorielle des réseaux comme fondement de la virtualisation Que ce soit en essai au niveau équipement ou sur système, on peut montrer que la puissance transmise aux composants est invariante (3) , c’est-à-dire que le seuil de puissance transmise pour une perturbation donnée reste le même quels que soient les circuits en amont des composants. Cela signifie, en simplifiant un peu, qu’un produit d’une tension complexe V aux bornes d’une entrée de composant par le courant complexe conjugué I * rentrant sur le même accès au moment où une perturbation est observée est une quantité qui caractérise le composant de façon intrinsèque. Quoi que seront les connexions de ce composant vers d’autres électroniques, ce produit que nous noterons s est toujours le même. L’ensemble des interactions d’un composant vers son environnement est complètement défini dans un tableau de fonctions appelé “métrique” et noté Z. Cette métrique regroupe tous les opérateurs d’impédance en conduction (inductances, condensateurs, résistances, transistors…) ou en rayonné (impédance de rayonnement, etc.). On montre dans le cadre de la topologie que cette métrique est un tenseur. Elle constitue l’objet central de notre virtualisation. Pour l’ingénieur, cette métrique se présente comme une matrice dont les termes diagonaux sont les impédances de chacune des branches du circuit et les termes extra-diagonaux sont les fonctions de couplage entre ces branches. Considérons par exemple un simple transformateur avec une résistance R1 au primaire et une résistance R2 au secondaire. La première branche est une résistance, la seconde l’inductance du primaire L1, la troisième l’inductance du secondaire L2 et la quatrième la résistance de charge au secondaire. Les éléments diagonaux de la métrique décrite dans l’espace des branches avec l’opérateur de Laplace p se trouvent organisés suivant : Pour coupler les 2 circuits et fabriquer notre transformateur, il suffit d’ajouter à cet objet la mutuelle inductance M entre les 2 inductances (notre modèle de transformateur est simpliste mais a pour seul objectif ici d’expliquer la notion de métrique) : On reconnaît bien ici sur les termes diagonaux les propriétés des branches du circuit et en termes extra-diagonaux les couplages qui peuvent exister entre ces branches. Lorsque l’on calcule l’illumination de l’équipement et son environnement (alimentations, charges, etc.) à des agressions électromagnétiques, on définit des sources d’énergie E. Par ailleurs, ce sous-système dispose de ses propres sources d’énergie, Eo. L’ensemble des sources intervenant dans le soussystème constitue un vecteur T = E+Eo, lui-même somme des 2 vecteurs des sources externes E et propres Eo. Par exemple, l’alimentation de l’équipement est la 7 e composante du vecteur T (j’aurais pu dire la 8 e ou la 3 276 e ). L’ensemble des courants qui seront engendrés par les générateurs en calcul comme en test au niveau équipement est déterminé par une équation qui a une forme du type : T=ZI. Cet ensemble de courant I constitue un vecteur également. Le courant rentrant dans le composant considéré précédemment est par exemple la 7 e composante de ce vecteur I. Z est une matrice que l’on peut inverser pour calculer ce vecteur courant I. Dès lors, la composante particulière I 7 (le 7 en exposant indiquant que l’on pointe la 7 e composante de I) est aussi déterminée par la résolution du système T = ZI. On trouve alors la puissance transmise sur l’entrée considérée en calculant p(7)=V 7 I 7* (la tension V 7 se déduit du courant I 7 connaissant l’impédance d’entrée du composant). L’essai de validation, s’il est bien géré et maîtrisé, reprendra le set-up défini au travers des modèles utilisés dans le calcul pour accéder à p(7). Des essais éventuels de caractérisation donneront une valeur de seuil po pour laquelle les perturbations apparaissent (nous simplifions ici aussi un peu l’analyse, mais ses fondements sont exactement similaires). Passons maintenant sur système. La nouvelle architecture sous test est représentée par une métrique Zs différente de la précédente, sauf au niveau de l’entrée du composant où elle reste identique. Pour ce test système, on définit aussi des sources. Les sources propres sont inchangées, mais les sources externes E’ sont différentes. On trouve un nouveau système à résoudre avec T’=ZsI, où T’=E’+Eo. De même, on inverse Zs pour trouver I et extraire p(7). On peut ensuite comparer p(7) trouvé dans ces conditions avec le seuil po(7) de perturbation. On voit que cette démarche suppose que l’on a pu au préalable caractériser po(7). Mais qu’en est-il de l’écart entre Z et Zs ? Toute une catégorie d’impédances est aussi identique entre les 2 expériences, qu’elles soient réelles ou virtuelles là aussi. On ne va en fait modifier que les interactions entre les éléments de la sous-chaîne qui, elle, reste identique dans tous les cas. Or cette modification passe par des transformations de Z vers Zs que l’on peut traduire mathématiquement au travers de 2 objets : la métrique elle-même d’une part, et les connexions d’autre part. C’est ici que l’analyse virtuelle amont va apporter beaucoup : en travaillant pour ne modifier que la métrique, on prouve la conservation des exigences entre le test au niveau équipement et au niveau système. Changer les connexions signifie par exemple qu’on déplace un fil qui allait de l’entrée n à l’entrée m, pour le placer entre les entrées n et p. Mais on veille à ne pas réaliser de telles opérations. Ce qui signifie que les mêmes liaisons sont réalisées entre les 2 analyses du système et de l’équipement (ou de la sous-fonction, ce qui revient au même). Par contre, les longueurs de câblages, les hauteurs aux plans, etc., elles, (et là nous nous référons à notre discussion précédente, nous n’avons pas le choix : (3) O. Maurice, J. Pigneret, “Susceptibilité hyperfréquence des composants numériques”, Radec’s 97. F. Lafon, EMCCOMPO09, et bien d’autres références sur le sujet. E SSAIS & S IMULATIONS ● OCTOBRE, NOVEMBRE, DÉCEMBRE 2010 ● PAGE 18

Essais virtuels elles changent !) peuvent changer. En écrivant Z’=Zo+Z et Zs’=Zo+Zs, où Zo est la partie invariante des opérateurs d’impédances, on peut définir un ensemble d’opérations de rotations et de translations appliquées à Z’ qui conduisent à Zs’ regroupées sous la forme d’une équation tensorielle de transformation : Zs’ = Λ’Z’Λ (l’exposant prime sur la matrice Λ indiquant l’emploi d’une matrice transposée ou image, ou en général différente de la première). Alors l’équation au niveau système devient : T’ = Λ’Z’ΛΙ. Reprenons notre exemple précédent mais en considérant 2 spires éloignées. Nous pouvons séparer Z en 2 termes : Zo, qui contient les impédances invariantes propres (charges et inductances des spires) et Zs, qui contient la fonction de couplage (qui dépend de la distance entre les 2 spires et de l’angle entre leurs normales si l’on suppose l’une perpendiculaire à la ligne de visée et dans le plan formé par la ligne de visée et le champ magnétique) : Le coefficient de couplages (4) entre 2 spires est fonction de la distance entre spires R, de leurs surfaces A et A’ et de la longueur d’onde λ : Dans le coefficient M interviennent 2 paramètres : l’angle et la distance. On peut appliquer à la matrice Zs une série de transformations visant par exemple à modifier les angles. Le lecteur pourra vérifier que les 2 matrices suivantes, image l’une de l’autre, permettent de modifier la valeur angulaire, traduisant par là une rotation α appliquée aux spires lors d’une nouvelle installation : L’algèbre tensorielle offre une panoplie gigantesque de transformations disponibles qui permet de traduire mathématiquement toutes les transformations opérées. On sait prédire les performances au niveau système à partir des résultats équipements. Cela après un travail de réflexion sur les natures intrinsèques des électroniques d’une part, l’existence d’un invariant et le contrôle des transformations appliquées entre les configurations équipement et système d’autre part. La démarche amont va permettre de justifier les set-up d’essais de validation dans un objectif de répondre au mieux aux exigences système. Elle va aussi permettre de faire les choix de protections, etc., en prenant en compte les incertitudes de valeurs en travaillant sur des enveloppes de valeurs d’impédances. Elle va permettre d’identifier les points sensibles de la fonction, pour ensuite aller beaucoup plus vite dans l’analyse en cas de problèmes révélés lors des essais de validation. Enfin, c’est par ce seul biais que l’on peut démontrer une robustesse transverse en analysant différentes hypothèses d’architecture système. Notons que nous n’avons pas parlé des sources. Les sources doivent être maintenues constantes. On caractérisera donc les composants à des formes d’ondes prédéfinies. Certains pourraient objecter que ces caractérisations sont limitatives. Certes, mais d’une part on peut se référer aux travaux du passé sur les contraintes enveloppe, d’autre part, même dans une démarche normative plus classique, les formes d’ondes appliquées ne sont pas plus exhaustives, loin s’en faut ! Application aux essais en compatibilité électromagnétique Dans le cas de la compatibilité électromagnétique, les transformations opérées sont des changements d’échelles (modification des longueurs de câblages), de hauteur aux plans. Ces transformations font partie du groupe des translations. Puis l’on peut changer les courbures de câbles, incliner les équipements, modifier l’incidence des sources, etc. C’est le groupe des rotations. L’étude des différentes hypothèses d’architectures systèmes constitue un groupe de transformations reliées à chacune de ces hypothèses. Les incertitudes portant sur ces architectures se traduisent en plans d’expérience (ou équivalents) où l’on va explorer les différentes combinaisons de valeurs des facteurs intervenant, pour en déduire les facteurs influents et les lieux des protections à apporter pour pallier ces méconnaissances du système final. Ces tâches seront à terme prises en charge par des interfaces homme-machine élaborées qui aideront l’ingénieur dans sa conception. Aujourd’hui, les travaux se focalisent sur la mise en œuvre des formalismes tensoriels d’analyse des réseaux et leurs implémentations numériques (5) . De nombreux travaux ont vu le jour en ce sens. Ils confirment les capacités de la méthode à répondre à la problématique et à donner une base mathématique formelle à l’objectif de virtualisation amont (6) . Mais déjà aujourd’hui, des simulations restreintes peuvent être réalisées en utilisant des logiciels de circuits et de calcul (7) , pour faire “manuellement” les analyses discutées dans cet article. Par ailleurs, d’autres approches visent à optimiser les connexions entre logiciels (techniques de logiciels hybrides, liens dynamiques entre programmes, etc.). Un exemple simple illustratif Imaginons un exemple très simple et pourtant qui couvre déjà de nombreuses situations rencontrées sur les systèmes réels. On considère 2 équipements reliés par une liaison bus via une ligne monofilaire référencée à une structure de plancher métallique. Chaque équipement a son impédance d’entrée. Dans un modèle de Branin (8) , la ligne est modélisée par son impédance et sa vitesse de propagation. Pour mettre en évidence les aspects matriciels, nous dupliquons cette liaison entre les 2 équipements. L’équipement 1 est émetteur, l’équipement 2 récepteur. La figure 1 montre le circuit équivalent dans lequel les lignes sont supposées adaptées pour faire plus simple dans cette illustration. (4) Lire par exemple Antennas, de Kraus et Marhefka, Mc Graw Hill. (5) O. Maurice, CEM des systèmes complexes, chez Hermès-Sciences, 2007. (6) Thèse de S.Leman, laboratoire TELICE. Thèse de K.El Fellous, laboratoire Xlim. Publication aux comptes rendus de l’académie des sciences. (7) Voir aussi les logiciels opensource : Qucs, SCILAB, etc. (8) On peut lire sur ce sujet Electromagnetics for Engineers de Clayton R.Paul, Wiley. 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